К основным свойствам любой модели относится. Основы моделирования систем

Рассмотрим, как отражаются в записи (2.1) основные общие свойства системы.

Первое такое свойство – линейность или нелинейность. Оно обычно расшифровывается как линейная (нелинейная) зависимость от входов операторов S (линейность или нелинейность параметров состояния) или (линейность или нелинейность модели в целом). Линейность может являться как естественным, хорошо соответствующим природе, так и искусственным (вводимым для целей упрощения) свойством модели.

Второе общее свойство модели – непрерывность или дискретность. Оно выражается в структуре множеств (совокупностей), которым принадлежат параметры состояния, параметр процесса и выходы системы. Таким образом, дискретность множеств Y, Т, Х - ведет к модели, называемой дискретной, а их непрерывность – к модели с непрерывными свойствами. Дискретность входов (импульсы внешних сил, ступенчатость воздействий и др.) в общем случае не ведет к дискретности модели в целом. Важной характеристикой дискретной модели является конечность или бесконечность числа состояний системы и числа значений выходных характеристик. В первом случае модель называется дискретной конечной. Дискретность модели также может быть как естественным условием (система скачкообразно меняет свое состояние и выходные свойства), так и искусственно внесенной особенностью. Типичный пример последнего – замена непрерывной математической функции на набор ее значений в фиксированных точках.

Следующее свойство модели – детерминированность или стохастичность. Если в модели среди величин х + , а , у , х - имеются случайные, т. е. определяемые лишь некоторыми вероятностные характеристиками, то модель называется стохастической (вероятностной, случайной). В этом случае и все результаты, полученные при рассмотрении модели, имеют стохастический характер и должны быть соответственно интерпретированы. С точки зрения практики, граница между детерминированными и стохастическими моделями выглядит расплывчатой. Так, в технике о любом размере или массе можно сказать, что это не точное значение, а усредненная величина типа математического ожидания, в связи с чем и результаты вычислений будут представлять собой лишь математические ожидания исследуемых величин. Однако такой взгляд представляется крайним. Удобный практический прием состоит в том, что при малых отклонениях от фиксированных значений модель считается детерминированной, а отклонение результата исследуется методами оценок или анализа ее чувствительности.

Четвертое общее свойство модели – ее стационарность или нестационарность. Сначала поясним понятие стационарности некоторого правила (процесса). Пусть в

рассматриваемом правиле присутствует параметр процесса, которым для удобства понимания будем считать время. Возьмем все внешние условия применения данного правила одинаковыми, но в первом случае мы применяем правило в момент t 0 , а во втором – в момент t 0 +Q . Спрашивается, будет ли результат применения правила одинаковым? Ответ на этот вопрос и определяет стационарность: если результат одинаков, то правило (процесс) считается стационарным, а если различен – нестационарным. Если все правила в модели стационарны, то стационарной называется и сама модель. Чаще всего стационарность выражается в неизменности во времени некоторых физических величин: стационарным является поток жидкости с постоянной скоростью, стационарна механическая система, в которой силы зависят только от координат и не зависят от времени.

Для отражения стационарности в формальной записи рассмотрим расширенный вид правила S , в которое введена его зависимость от начальных условий процесса t 0 , y 0 и зависимость входов от параметра t :

y = S (x + (t ), a , t , t 0 , у 0).

Тогда для стационарного процесса имеет место равенство

S(x + (t+Q), а,t+Q, t 0 +Q, y 0) = S (x + (t), а, t, t 0 , y 0).

Аналогично можно определить стационарность правил V и .

Другим общим свойством модели является вид составляющих кортежа (2.1). Простейшим будет случай, когда входы, выходы и параметры а в системе – это числа, а правило – математическая функция. Широко распространена ситуация, когда входы и выходы есть функции параметра процесса. Правила S , V , тогда являются либо функциями, либо операторами и функционалами. Функциями, скажем, от параметров состояния могут быть и те параметры системы, которые мы ранее называли постоянными. Описанная выше ситуация еще достаточно удобна для исследования модели на ЭВМ.

Последним упомянем свойство модели (2.1), состоящее в конечности или бесконечности числа входов, выходов, параметров состояния, постоянных параметров системы. Теория рассматривает и тот, и другой тип модели, однако на практике работают лишь с моделями с конечномерностью всех перечисленных составляющих.

Адекватность – степень соответствия модели исследуемому реальному объекту. Она никогда не может быть полной. На практике модель считают адекватной, если она с удовлетворительной точностью позволяет достичь целей исследования.

Сложность – количественная характеристика свойств объекта, описывающих модель. Чем она выше, тем сложнее модель. Однако на практике надо стремиться к наиболее простой модели, позволяющую достичь требуемые результаты изучения.

Потенциальность – способность модели дать новые знания об исследуемом объекте, спрогнозировать его поведений.

Математические модели.

Основные этапы построения математической модели:

1. составляется описание функционирования системы в целом;

2. составляется перечень подсистем и элементов с описанием их функционирования, характеристик и начальных условий, а также взаимодействия между собой;

3. определяется перечень воздействующих на систему внешних факторов и их характеристик;

4. выбираются показатели эффективности системы, т.е. такие числовые характеристики системы, которые определяют степень соответствия системы ее назначению;

5. составляется формальная математическая модель системы;

6. составляется машинная математическая модель, пригодная для исследования системы на ЭВМ.

Требования к математической модели:

Требования определяются прежде всего ее назначением, т.е. характером поставленной задачи:

"Хорошая" модель должна быть:

1. целенаправленной;

2. простой и понятной пользователю;

3. достаточной с точки зрения возможностей решения поставленной задачи;

4. удобной в обращении и управлении;

5. надежной в смысле защиты от абсурдных ответов;

6. допускающей постепенные изменения в том смысле, что, будучи вначале простой, она при взаимодействии с пользователями может становиться более сложной.

Математические модели. Математические модели представляют собой формализованное представление системы с помощью абстрактного языка, с помощью математических соотношений, отражающих процесс функционирования системы. Для составления математических моделей можно использовать любые математические средства - алгебраическое, дифференциальное, интегральное исчисления, теорию множеств, теорию алгоритмов и т.д. По существу вся математика создана для составления и исследования моделей объектов и процессов.

К средствам абстрактного описания систем относятся также языки химических формул, схем, чертежей, карт, диаграмм и т.п. Выбор вида модели определяется особенностями изучаемой системы и целями моделирования, т.к. исследование модели позволяет получить ответы на определённую группу вопросов. Для получения другой информации может потребоваться модель другого вида. Математические модели можно классифицировать как детерминированные и вероятностные, аналитические, численные и имитационные .

Детерминирован­ное моделирование отображает процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероят­ностные процессы и события. В этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характе­ристики, т. е. набор однородных реализаций.

Аналитической моделью называется такое формализованное описание системы, которое позволяет получить решение уравнения в явном виде, используя известный математический аппарат.

Численная модель характеризуется зависимостью такого вида, который допускает только частные решения для конкретных начальных условий и количественных параметров моделей.

Имитационная модель - это совокупность описания системы и внешних воздействий, алгоритмов функционирования системы или правил изменения состояния системы под влиянием внешних и внутренних возмущений. Эти алгоритмы и правила не дают возможности использования имеющихся математических методов аналитического и численного решения, но позволяют имитировать процесс функционирования системы и производить вычисления интересующих характеристик. Имитационные модели могут быть созданы для гораздо более широкого класса объектов и процессов, чем аналитические и численные. Поскольку для реализации имитационных моделей служат ВС, средствами формализованного описания ИМ служат универсальные и специальные алгоритмические языки. ИМ в наибольшей степени подходят для исследования ВС на системном уровне.

8. Структура модели. Моделирование - это воспроизведение хар-стик одного объекта на некот другом объекте, спец-но созданного для их изучения. Последний называется моделью.

Под структурой модели (и физической в том числе) понимают совок-ть эл-в, входящих в модель и связей между ними. При этом, модель (её элементы) может иметь ту же или иную физическую природу. Близость структур – одно из главных особенностей при моделировании. В каждом конкретном сл-е модель может выполнить свою роль тогда, когда степень ее соотв-я объекту опр-на достаточно строго. Упрощение структуры модели снижает точность.

• 
  Основные свойства моделей . - целенаправленность - модель всегда отображает некоторую систему, т.е. имеет цель; - конечность...


• 
  Основные свойства моделей . - целенаправленность - модель


• 
  Основные свойства моделей . - целенаправленность - модель всегда отображает некоторую систему, т.е. имеет цель; - конечность - м.


• 
  Основные свойства средней арифметической. Для снижения трудоемкости расчетов используются основные свойства ср.арифм-кой


• 
  Основные свойства живых организмов. А) Единство химического состава.
  Оно связано с приобретением организмами новых признаков и свойств .


• 
  Два свойства общ. благ: 1)неконкурентность, т.е. увеличение числа потребителей блага не влечет за собой снижение полезности, доставляемой каждому из них.


• 
  Модель скользящих нитей Хаксли и ее основные положения.
  Вода является средой с большим количеством водородных связей, именно они определяют особые свойства воды

Информация - это абстракция.
Модель - это тот объект, та система, которая позволяет облечь эту информацию в конкретное, например компьютерное, представление, содержание.
Моделирование - тот процесс, метод, который позволяет осуществлять перенос информации от реальной системы к модели и наоборот.

Модели по их назначению бывают познавательными, прагматическими и инструментальными.

• Познавательная модель - форма организации и представления знаний, средство соединения новых и старых знаний. Познавательная модель, как правило, подгоняется под реальность и является теоретической моделью.
• Прагматическая модель - средство организации практических действий, рабочего представления целей системы для ее управления. Реальность подгоняется под некоторую прагматическую модель. Это, как правило, прикладная модель.
• Инструментальная модель - средство построения, исследования и/или использования прагматических и/или познавательных моделей. Познавательные модели отражают существующие, а прагматические - хоть и не существующие, но желаемые и, возможно, исполнимые отношения и связи.

По уровню моделирования модели бывают эмпирическими, теоретическими и смешанными.

• Эмпирическая - на основе эмпирических фактов, зависимостей;
• Теоретическая - на основе математических описаний;
• Смешанная или полуэмпирическая - использующая эмпирические зависимости и математические описания.

Проблема моделирования состоит из трех задач:

1. построения модели (эта задача менее формализуема и конструктивна, в том смысле, что нет алгоритма для построения моделей);
2. исследования модели (эта задача более формализуема, имеются методы исследования различных классов моделей);
3. использования модели (конструктивная и конкретизируемая задача).

Моделирование - процесс построения, изучения и применения моделей.

Т.е. можно сказать, что

Приведем наиболее важные типы моделей (моделирования) с краткими определениями, примерами.

Модель называется статической , если среди параметров, участвующих в описании модели, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь «фотографию» системы, ее срез.

Модель динамическая, если среди параметров модели есть временной параметр, т. е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

Модель дискретная , если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Модель непрерывная , если она описывает поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка.

Модель имитационная , если она предназначена для испытания или изучения, проигрывания возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров модели.

Модель детерминированная , если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров; в противном случае модель недетерминированная , стохастическая (вероятностная).

Модель теоретико-множественная , если представима с помощью некоторых множеств и отношений принадлежности им и между ними.

Модель логическая , если она представима предикатами, логическими функциями.

Модель игровая , если она описывает, реализует некоторую игровую ситуацию Между участниками игры (лицами, коалициями).

Модель алгоритмическая , если она описана некоторым алгоритмом или комплексом алгоритмов, определяющим ее функционирование, развитие. Введение такого на первый взгляд непривычного типа моделей кажется нам вполне обоснованным, так как не все модели могут быть исследованы или реализованы алгоритмически.

Модель языковая , лингвистическая , если она представлена некоторым лингвистическим объектом, формализованной языковой системой или структурой. Иногда такие модели называют вербальными, синтаксическими и т. п.

Модель визуальная , если она позволяет визуализировать отношения и связи моделируемой системы, особенно в динамике.

Модель натурная , если она есть материальная копия объекта моделирования.

Модель геометрическая , графическая , если она представима геометрическими образами и объектами.

Тип модели зависит от информационной сущности моделируемой системы, от связей и отношений ее подсистем и элементов, а не от ее физической природы.

Границы между моделями различных типов или же отнесение модели к тому или иному типу часто весьма условны. Можно говорить о различных режимах использования моделей - имитационном, стохастическом и т. д.
Все основные типы моделей, возможно, за исключением некоторых натурных - системно-информационные (инфосистемные) и информационно-логические (инфологические). В узком понимании информационная модель - это модель, описывающая, изучающая, актуализирующая информационные связи и отношения в исследуемой системе. В еще более узком понимании информационная модель - это модель, основанная на данных, структурах данных, их информационно-логическом представлении и обработке. Как широкое, так и узкое понимание информационной модели необходимы, определяются решаемой проблемой и доступными для ее решения ресурсами, в первую очередь информационно-логическими.

Основные свойства любой модели:

• конечность - модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;
• упрощенность - модель отображает только существенные стороны объекта и, кроме того, должна быть проста для исследования или воспроизведения;
• приблизительность - действительность отображается моделью грубо, или приблизительно;
• адекватность моделируемой системе - модель должна успешно описывать моделируемую систему;
• наглядность, обозримость основных свойств и отношений;
• доступность и технологичность для исследования или воспроизведения;
• информативность - модель должна содержать достаточную информацию о системе (в рамках гипотез, принятых при построении модели) и давать возможность получить новую информацию;
• сохранение информации , содержавшейся в оригинале (с точностью рассматриваемых при построении модели гипотез);
• полнота - в модели должны быть учтены все основные связи и отношения, необходимые для обеспечения цели моделирования;
• устойчивость - модель должна описывать и обеспечивать устойчивое поведение системы, если даже та вначале является неустойчивой;
• замкнутость - модель учитывает и отображает замкнутую систему необходимых основных гипотез, связей и отношений.

Жизненный цикл моделируемой системы:

• сбор информации об объекте, выдвижение гипотез, предмодельный анализ;
• проектирование структуры и состава моделей (подмоделей);
• построение спецификаций модели , разработка и отладка отдельных подмоделей, сборка модели в целом, идентификация (если это нужно) параметров моделей ;
• исследование модели - выбор метода исследования и разработка алгоритма (программы) моделирования ;
• исследование адекватности, устойчивости, чувствительности модели ;
• оценка средств моделирования (затраченных ресурсов);
• интерпретация, анализ результатов моделирования и установление некоторых причинно-следственных связей в исследуемой системе;
• генерация отчетов и проектных (народно-хозяйственных) решений;
• уточнение, модификация модели , если это необходимо, и возврат к исследуемой системе с новыми знаниями, полученными с помощью модели и моделирования .

Моделирование - метод системного анализа. Но часто в системном анализе при модельном подходе исследования может совершаться одна методическая ошибка, а именно, - построение корректных и адекватных моделей (подмоделей) подсистем системы и их логически корректная увязка не дает гарантий корректности построенной таким способом модели всей системы. Модель , построенная без учета связей системы со средой и ее поведения по отношению к этой среде, может часто лишь служить еще одним подтверждением теоремы Геделя, а точнее, ее следствия, утверждающего, что в сложной изолированной системе могут существовать истины и выводы, корректные в этой системе и некорректные вне ее.

Наука моделирования состоит в разделении процесса моделирования (системы, модели ) на этапы (подсистемы, подмодели), детальном изучении каждого этапа, взаимоотношений, связей, отношений между ними и затем эффективного описания их с максимально возможной степенью формализации и адекватности. В случае нарушения этих правил получаем не модель системы, а модель "собственных и неполных знаний".

Моделирование (в значении "метод", "модельный эксперимент") рассматривается как особая форма эксперимента, эксперимента не над самим оригиналом (это называется простым или обычным экспериментом), а над копией (заместителем) оригинала. Здесь важен изоморфизм систем (оригинальной и модельной) - изоморфизм , как самой копии, так и знаний, с помощью которых она была предложена.

Модели и моделирование применяются по основным направлениям:

• обучение (как моделям , моделированию , так и самих моделей );
• познание и разработка теории исследуемых систем (с помощью каких-либо моделей , моделирования , результатов моделирования );
• прогнозирование (выходных данных, ситуаций, состояний системы);
• управление (системой в целом, отдельными подсистемами системы), выработка управленческих решений и стратегий;
• автоматизация (системы или отдельных подсистем системы).

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое модель , для чего она нужна и как используется? Какая модель называется статической (динамической, дискретной и т.д.)?
2. Каковы основные свойства моделей и насколько они важны?
3. Что такое жизненный цикл моделирования (моделируемой системы)?

Задачи и упражнения

1. В последнее время наиболее актуальной проблемой в экономике стало воздействие уровня налогообложения на хозяйственную деятельность. В ряду прочих принципов взимания налогов важное место занимает вопрос о той предельной норме, превышение которой влечет потери общества и государства, несоизмеримые с текущими доходами бюджета. Определение совокупной величины налоговых сборов таким образом, чтобы она, с одной стороны, максимально соответствовала государственным расходам, а с другой, оказывала минимум отрицательного воздействия на деловую активность, относится к числу главных задач управления государства. Опишите, какие, на ваш взгляд, параметры необходимо учесть в модели налогообложения хозяйственной деятельности, соответствующей указанной цели. Составьте простую (например, рекуррентного вида) модель сбора налогов, исходя из налоговых ставок, изменяемых в указанных диапазонах: налог на доход - 8-12 %, налог на добавленную стоимость - 3-5 %, налог на имущество юридических лиц - 7-10%. Совокупные налоговые отчисления не должны превышать 30-35% прибыли. Укажите в этой модели управляющие параметры. Определите одну стратегию управления с помощью этих параметров.
2. Заданы числовой - x i , i=0, 1, ..., n и символьный - y i , i=0, 1, ..., m массивы X и Y . Составить модель стекового калькулятора, который позволяет осуществлять операции:
   1. циклический сдвиг вправо массива X или Y и запись заданного числа в x 0 или символа операции - y 0 (в "верхушку стека" X(Y) ) т.е. выполнение операции "вталкивание в стек";
   2. считывание "верхушки стека" и последующий циклический сдвиг влево массива X или Y - операция "выталкивания из стека";
   3. обмен местами x 0 и x 1 или y 0 и y 1 ;
   4. "раздваивание верхушки стека", т.е. получение копии x 0 или y 0 в x 1 или y 1 ;
   5. считывание "верхушки стека" Y (знака +, -, * или /), затем расшифровка этой операции, считыавние операндов операций с "верхушки" X , выполнение этой операции и помещение результата в "верхушку" X .
3. Известна классическая